【数据结构与算法】【LeetCode】【动态规划】198.打家劫舍

dp数组，滚动数组

题目

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：

0 <= nums.length <= 100
0 <= nums[i] <= 400

题解

方法一：动态规划 + dp数组

思路与算法分析

• 若只有一间房，则偷窃该房间
• 若有两间房，只能偷一间，故偷两者之间金额最高的
• 若房间数为$k(>2)$
  • 偷窃第 k间房屋，那么就不能偷窃第 k-1 间房屋，偷窃总金额为前 k−2 间房屋的最高总金额与第 k间房屋的金额之和。
  • 不偷窃第 k 间房屋，偷窃总金额为前 k−1 间房屋的最高总金额。

在两个选项中选择偷窃总金额较大的选项，该选项对应的偷窃总金额即为前 kk 间房屋能偷窃到的最高总金额。

用dp[i]表示前i间房屋能偷到的最高金额，则状态转移方程：$$dp[i]=max(dp[i-2)+nums[i],dp[i-1])$$
边界条件为$$ y= \begin{cases} dp[0]=nums[0],\quad 只有一间房屋，则偷窃该房屋 \ dp[1]=max(nums[0],nums[1]), \quad 只有两间房屋 \end{cases} $$
最终的答案即为dp[n-1]，其中n是数组的长度

复杂度分析

• 时间复杂度O(n)
• 空间复杂度O(n)

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class Solution:
    def rob(self, nums) -> int:

        if len(nums)==0:
            return 0
        if len(nums)==1:
            return nums[0]
        if len(nums)==2:
            return max(nums[0],nums[1])
        
        n= len(nums)
        dp=[0]*len(nums)
        dp[0]=nums[0]
        dp[1]=max(nums[0],nums[1])
        
        for i in range(2,n):
            dp[i]=max(dp[i-2]+nums[i],dp[i-1])
        return dp[-1]

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nums=[2,7,9,3,1]
a=Solution()
result=a.rob(nums)
print(result)

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方法二：滚动数组

通过两个单变量，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)

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class Solution:
    def rob(self, nums) -> int:
        if not nums:
            return 0

        size = len(nums)
        if size == 1:
            return nums[0]
        
        first, second = nums[0], max(nums[0], nums[1])
        for i in range(2, size):
            first, second = second, max(first + nums[i], second)
        
        return second

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nums=[2,7,9,3,1]
a1=Solution()
result=a1.rob(nums)
print(result)

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