链表中点查找、链表排序、归并排序、分治与递归、递归、非递归。

题目

给你链表的头结点 head ，请将其按 升序 排列并返回 排序后的链表 。

进阶：

你可以在 O(n log n) 时间复杂度和常数级空间复杂度下，对链表进行排序吗？

示例1

输入：head = [4,2,1,3]
输出：[1,2,3,4]

示例2

输入：head = [-1,5,3,4,0]
输出：[-1,0,3,4,5]

示例3

输入：head = []
输出：[]

题解

方法一：字典

  • 将结点地址和值存入字典，使用sorted函数按照值排序，重新构造成链表
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class ListNode:
    def __init__(self, val=0, next=None):
        self.val = val
        self.next = next
def createLink_rearinsert(lista):
    head = ListNode(-1)
    rear = head
    for i in lista:
        new_node=ListNode(i)
        rear.next=new_node
        rear=new_node
    return head.next

class Solution:
    def sortList(self, head: ListNode) -> ListNode:
        if not head:
            return head
        dic=dict()
        while head:
            dic[head]=head.val
            head=head.next
        #print(dic)
        new_dic=sorted(dic.items(),key=lambda item:item[1])
        head= ListNode(-1)
        rear = head
        for d in new_dic:
            rear.next = d[0]
            rear = rear.next
        rear.next=None
        return head.next

if __name__=="__main__":
    head = [-1,5,3,4,0]
    new_a=createLink_rearinsert(head)
    a1 = Solution()
    p=a1.sortList(new_a)
    list_head=[]
    while p!=None:
        list_head.append(p.val)
        p=p.next
    print(list_head)
[-1, 0, 3, 4, 5]

题目进阶分析

这道题考虑时间复杂度更低的排序算法。题目的进阶问题要求达到O(nlogn) 的时间复杂度和 O(1) 的空间复杂度，时间复杂度是 O(nlogn) 的排序算法包括归并排序、堆排序和快速排序（快速排序的最差时间复杂度是 $O(n^2)$) 其中最适合链表的排序算法是归并排序。

归并排序基于分治算法。最容易想到的实现方式是自顶向下的递归实现，考虑到递归调用的栈空间，自顶向下归并排序的空间复杂度是O(logn)。如果要达到 O(1)的空间复杂度，则需要使用自底向上的实现方式。

方法二：自顶向下归并排序

对链表自顶向下归并排序的过程如下。

  • 找到链表的中点，以中点为分界，将链表拆分成两个子链表。寻找链表的中点可以使用快慢指针的做法，快指针每次移动 2 步，慢指针每次移动 1 步，当快指针到达链表末尾时，慢指针指向的链表节点即为链表的中点。

  • 对两个子链表分别排序。

  • 将两个排序后的子链表合并，得到完整的排序后的链表。

上述过程可以通过递归实现。递归的终止条件是链表的节点个数小于或等于 1，即当链表为空或者链表只包含 1 个节点时，不需要对链表进行拆分和排序。

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class Solution:
    def sortList(self, head: ListNode) -> ListNode:
        def sortFunc(head: ListNode, tail: ListNode) -> ListNode:
            if not head:
                return head
            if head.next == tail:
                head.next = None
                return head
            slow = fast = head
            while fast != tail:
                slow = slow.next
                fast = fast.next
                if fast != tail:
                    fast = fast.next
            mid = slow
            return merge(sortFunc(head, mid), sortFunc(mid, tail))
            
        def merge(head1: ListNode, head2: ListNode) -> ListNode:
            dummyHead = ListNode(0)
            temp, temp1, temp2 = dummyHead, head1, head2
            while temp1 and temp2:
                if temp1.val <= temp2.val:
                    temp.next = temp1
                    temp1 = temp1.next
                else:
                    temp.next = temp2
                    temp2 = temp2.next
                temp = temp.next
            if temp1:
                temp.next = temp1
            elif temp2:
                temp.next = temp2
            return dummyHead.next
        
        return sortFunc(head, None)


if __name__=="__main__":
    head = [-1,5,3,4,0,2]
    new_a=createLink_rearinsert(head)
    a1 = Solution()
    p=a1.sortList(new_a)
    list_head=[]
    while p!=None:
        list_head.append(p.val)
        p=p.next
    print(list_head)
[-1, 0, 2, 3, 4, 5]

自顶至底归并2

通过递归实现链表归并排序，有以下两个环节：

  • 分割 cut 环节： 找到当前链表中点，并从中点将链表断开（以便在下次递归 cut 时，链表片段拥有正确边界）；
    • 我们使用 fast,slow 快慢双指针法，奇数个节点找到中点，偶数个节点找到中心左边的节点。
    • 找到中点 slow 后，执行 slow.next = None 将链表切断。
    • 递归分割时，输入当前链表左端点 head 和中心节点 slow 的下一个节点 tmp(因为链表是从 slow 切断的)。
    • cut 递归终止条件： 当head.next == None时，说明只有一个节点了，直接返回此节点。
  • 合并 merge 环节： 将两个排序链表合并，转化为一个排序链表。
    • 双指针法合并，建立辅助ListNode h 作为头部。
    • 设置两指针 left, right 分别指向两链表头部，比较两指针处节点值大小，由小到大加入合并链表头部，指针交替前进，直至添加完两个链表。
    • 返回辅助ListNode h 作为头部的下个节点 h.next。
    • 时间复杂度 O(l + r)，l, r 分别代表两个链表长度。
  • 当题目输入的 head == None 时，直接返回None。
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class Solution:
    def sortList(self, head: ListNode) -> ListNode:
        if not head or not head.next: return head # termination.
        # cut the LinkedList at the mid index.
        slow, fast = head, head.next
        while fast and fast.next:
            fast, slow = fast.next.next, slow.next
        mid, slow.next = slow.next, None # save and cut.
        # recursive for cutting.
        left, right = self.sortList(head), self.sortList(mid)
        # merge `left` and `right` linked list and return it.
        h = res = ListNode(0)
        while left and right:
            if left.val < right.val: h.next, left = left, left.next
            else: h.next, right = right, right.next
            h = h.next
        h.next = left if left else right
        return res.next
    
if __name__=="__main__":
    head = [-1,5,3,4,0,6,2]
    new_a=createLink_rearinsert(head)
    a1 = Solution()
    p=a1.sortList(new_a)
    list_head=[]
    while p!=None:
        list_head.append(p.val)
        p=p.next
    print(list_head)
[-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6]

方法三： 自底至顶归并排序

  • 对于非递归的归并排序，需要使用迭代的方式替换cut环节：
    • 我们知道，cut环节本质上是通过二分法得到链表最小节点单元，再通过多轮合并得到排序结果。
    • 每一轮合并merge操作针对的单元都有固定长度intv，例如：
      • 第一轮合并时intv = 1，即将整个链表切分为多个长度为1的单元，并按顺序两两排序合并，合并完成的已排序单元长度为2。
      • 第二轮合并时intv = 2，即将整个链表切分为多个长度为2的单元，并按顺序两两排序合并，合并完成已排序单元长度为4。
      • 以此类推，直到单元长度intv >= 链表长度，代表已经排序完成。
    • 根据以上推论，我们可以仅根据intv计算每个单元边界，并完成链表的每轮排序合并，例如:
      • 当intv = 1时，将链表第1和第2节点排序合并，第3和第4节点排序合并，……。
      • 当intv = 2时，将链表第1-2和第3-4节点排序合并，第5-6和第7-8节点排序合并，……。
      • 当intv = 4时，将链表第1-4和第5-8节点排序合并，第9-12和第13-16节点排序合并，……。
  • 此方法时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(1)。
  • 模拟上述的多轮排序合并：
    • 统计链表长度length，用于通过判断intv < length判定是否完成排序；
    • 额外声明一个节点res，作为头部后面接整个链表，用于：
      • intv *= 2即切换到下一轮合并时，可通过res.next找到链表头部h；
      • 执行排序合并时，需要一个辅助节点作为头部，而res则作为链表头部排序合并时的辅助头部pre；后面的合并排序可以将上次合并排序的尾部tail用做辅助节点。
    • 在每轮intv下的合并流程：
      • 根据intv找到合并单元1和单元2的头部h1, h2。由于链表长度可能不是2^n，需要考虑边界条件：
        • 在找h2过程中，如果链表剩余元素个数少于intv，则无需合并环节，直接break，执行下一轮合并；
        • 若h2存在，但以h2为头部的剩余元素个数少于intv，也执行合并环节，h2单元的长度为c2 = intv - i。
      • 合并长度为c1, c2的h1, h2链表，其中：
        • 合并完后，需要修改新的合并单元的尾部pre指针指向下一个合并单元头部h。（在寻找h1, h2环节中，h指针已经被移动到下一个单元头部）
        • 合并单元尾部同时也作为下次合并的辅助头部pre。
      • 当h == None，代表此轮intv合并完成，跳出。
    • 每轮合并完成后将单元长度×2，切换到下轮合并：intv *= 2。
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class Solution:
    def sortList(self, head: ListNode) -> ListNode:
        h, length, intv = head, 0, 1
        # 统计链表长度
        while h: 
            h, length = h.next, length + 1
            
        res = ListNode(0)
        res.next = head
        # merge the list in different intv.
        while intv < length:
            pre, h = res, res.next
            while h:
                # get the two merge head `h1`, `h2`
                h1, i = h, intv
                while i and h: h, i = h.next, i - 1
                if i: break # no need to merge because the `h2` is None.
                h2, i = h, intv
                while i and h: h, i = h.next, i - 1
                c1, c2 = intv, intv - i # the `c2`: length of `h2` can be small than the `intv`.
                # merge the `h1` and `h2`.
                while c1 and c2:
                    if h1.val < h2.val: pre.next, h1, c1 = h1, h1.next, c1 - 1
                    else: pre.next, h2, c2 = h2, h2.next, c2 - 1
                    pre = pre.next
                pre.next = h1 if c1 else h2
                while c1 > 0 or c2 > 0: pre, c1, c2 = pre.next, c1 - 1, c2 - 1
                pre.next = h 
            intv *= 2
        return res.next

if __name__=="__main__":
    head = [-1,5,3,4,0,6,7,2]
    new_a=createLink_rearinsert(head)
    a1 = Solution()
    p=a1.sortList(new_a)
    list_head=[]
    while p!=None:
        list_head.append(p.val)
        p=p.next
    print(list_head)
[-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

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